Fiches d'Exercices sur la Division

Bienvenue à la page Division de MathsLibres.com! Vous trouverez sur cette page des feuilles de travail qui aideront vos élève dans leur apprentissage de la division. Si vos élèves se rappellent bien de leur tables de multiplication, leur apprendre les règles de division sera un jeu d'enfant. Pour promouvoir le succès de vos élèves dans leur apprentissage de ce concept important, commencez par vous qu'ils sont déjà comfortables avec leurs règles de multiplication jusqu'à 81. Ils devront aussi connaître comment multiplier un chiffre par 0 et par 10 avant. Si ce n'est pas le cas leur enseignement dans cette matière risque de prendre plus de temps que prévu.

La première section ci-dessous introduit les règles de base de la division. Bien sûr, ces règles ne sont que celles de multiplication exprimées différemment. Par contre, il faudra tenir compte qu'on ne peut pas diviser un nombre par 0.

Le restant de la page est dédiée à la division longue, une algorithme de division euclidienne qui, pour une raison ou une autre, est souvent détestée parmis les membres de la population. Certes, la division longue posera une difficulté à l'élève qui ne connait pas bien ses tables de multiplications, mais pour l'élève qui les maîtrise bien, cette méthode de calcul se montrera très efficace. Qu'elle soit intégrale ou décimale, cet algorithme simple et élégant peut être utilisé pour résoudre n'importe quelle division (sauf, bien sûr, une division par 0).

Règles de Division

Faites utiliser à vos élèves du matériel de manipulation afin de faire consolider le concept de la division dans leurs cerveaux. À place de les confondre avec un langage compliqué (quotient, dividende, diviseur), vous pourrez à la place leur demander «Combien de __ y a-t-il dans __?». Par example, pour 81 ÷ 9, «Combien de 9 y a-t-il dans 81?». Ce type de question aidera les élèves à mieux comprendre les nombres décimaux et les fractions. La question: «Combien de tiers y a-t-il dans 4 entiers?» se pose bien à la place de «Qu'est-ce qu'on doit multiplier par un tier pour arriver à quatre» et est plus facile que cette dernière à conceptualiser.

Division Longue Sans Reste

Cherchez-vous une façon plus facile à diviser les grands nombres? Essayez la méthode suivante qui fait usage des puissances de 10. Avant de tenter cette méthode, les élèves auront besoin d'être capables de multiplier par 10 et d'effectuer des soustractions. Cette méthode consiste de soustraire le diviseur, multiplié par des puissances de 10 décroissantes, du dividende jusqu'à ce qu'ils arrivent à zéro ou un reste plus petit que le diviseur. Par exemple 1458 ÷ 54. Notez premièrement, 54 × 1 = 54 et 54 × 10 = 540 (on n'aura pas besoin de puissances plus élevées). 1458 - 540 - 540 = 378. Notez que 540 a été soustrait deux fois, alors le nombre de fois que 54 «entre dans» 1458 est au moins 20 fois. On continue, 378 - 54 - 54 - 54 - 54 - 54 - 54 - 54 = 0. Alors, 54 a été soustrait 7 fois, ce qui donne un quotient de 27 au total. Alors, 54 «entre dans» 1458, 27 fois.

Division Longue Avec Restes

Avez-vous déjà imaginé que vous pourriez aider un élève à mieux comprendre la division tout en gardant le quotient le plus précis possible et en utilisant les restes? Cela est tout à fait possible. Les restes sont souvent introduits comme concept abstrait sans contexte (comme dans les solutions des fiches ci-dessous) ce qui peut les rendre mélangeant pour un élève, mais quant en effet, le reste d'une division se trouve simplement à être le numérateur d'un quotient fractionnaire. Par exemple, 19 ÷ 3 donne 6 avec un reste de 1, mais plus précisément 19 ÷ 3 donne un quotient fractionnaire de 6 1/3. L'utilisation des quotients fractionnaire fera que l'élève trouvera toujours la réponse exacte à n'importe quelle question de division longue, et dans plusieurs cas la réponse sera d'avantage précise (e.g. comparez 6 1/3 avec 6.3333...).

Division Longue Avec Quotients Décimaux

Règles de Divisibilité

Nombres divisibles par 2, 5 et 10

Un nombre est divisble par 2 si son chiffre d'unité (le chiffre dans la dernière position) est pair. Les nombres pairs terminent tous en 0, 2, 4, 6, ou 8 et sont alors divisibles par 2. Un nombre est divisible par 5 si il termine avec un 0 ou un 5, et un nombre est divisible par 10 lorsqu'il finit avec 0.

Nombres divisibles par 3, 6 et 9

Un nombre est divisible par 3 si la somme de ses chiffre est divisible par 3. Par exemple, comme 2 + 8 + 5 = 15 est divisible par 3, le nombre 285 est divisible par 3. Un nombre est divisible par 6 si il est divisible par 2 et par 3 (voir les règles ci-dessus). Un nombre est divisible par 9 si la somme de ces chiffres égale 9. Par exemple, 2 + 8 + 5 = 15 n'est pas divisible par 9, donc 285 n'est pas divisible par 9. 289 l'est par contre, comme 2 + 8 + 9 = 18 qui est divisible par 9.

Nombres divisibles par 4, 7 et 8

Par 4: Un nombre est divisible par 4 si le nombre formé par ses deux derniers chiffres est divisible par 4.

Par 7: Pour 7, il y a deux stratégies. La première consiste de prendre le dernier chiffre du nombre cible, de le multiplier par 2 et d'ensuite soustraire ce produit du nombre formé du restant des chiffres. Si la différence résultante est divisible par 7, le nombre initial est aussi divisible par 7. Par exemple, supposons que nous voulons déterminer si 273 est divisible par 7. Nous prenons d'abord le 3 de 273 et nous le multiplions par 2 pour arriver à 6. Nous soustrayons ensuite 6 de 27 (le restant du nombre 273) pour une différence de 21. Comme 21 est divisible par 7, nous pouvons constater que 7 divise 273. La deuxième méthode demande un peu plus de mémorisation, mais prends un peu moins de temps à effectuer avec les nombres plus grands. Cette stratégie consiste premièrement de multiplier chaque chiffre du nombre en question, partant du chiffre de droite (des unités) et allant vers la gauche, succèssivement par 1, 3, 2, 6, 4, 5, répétant la séquence au besoin. Il faut ensuite ajouter tous ces produits ensemble. Si la somme de ces produits est divisible par 7, le nombre en question est aussi divible par 7. Regardons un exemple: on veut déterminer si le nombre 2037 est divisible par 7. Nous effectuons le calcul suivant 1(7) + 3(3) + 2(0) + 6(2) = 28. 7 divise 28, alors nous savons donc que 2037 est divisible par 27.

Par 8: Considéront maintenant la divisibilité par 8. Un nombre est divisible par 8 si le nombre formé par ses trois derniers chiffres est divisible par 8. Ceci est la règle standard en ce qui concerne la divisibilité par 8. Cette règle vous paraît peut-être un peu inefficace. Le nombre 680, par exemple, est-il divisible par 8 ou non? Pour vous faciliter la tâche, voici notre solution MathsLibres.com qui requiert un peu plus de calcul, mais qui avec un peu de pratique vous permettera d'arriver rapidement à la réponse. Comme vous le savez sûrement déjà, le chiffre 8 est divisible par la troisième puissance de 2. Donc, si nous pouvons diviser les nombre formé par les trois derniers chiffres de notre nombre cible, par 2, trois fois, nous pouvons conclure que ce nombre est aussi divisible par 8. 680 ÷ 2 ÷ 2 ÷ 2 = 340 ÷ 2 ÷ 2 = 170 ÷ 2 = 85. Nous avons alors une réponse à notre question. 680 est divisible par 8, et donc, tout nombre terminant avec 680 est aussi divisible par 8.